Phytagoras

MATERI MATEMATIKA KELAS 8 SMP/MTS : Teorema Pythagoras

A.      Teorema Pythagoras

  Pythagoras menyatakan bahwa : “Untuk setiap segitiga siku-siku berlaku kuadrat panjang sisi miring (Hipotenusa) sama dengan jumlah kuadrat panjang sisi siku-sikunya.”

  jika c adalah panjang sisi miring/hipotenusa segitiga, a dan b adalah panjang sisi siku-siku. Berdasarkan teorema Pythagoras di atas maka diperoleh hubungan:

c² = a² + b²
Dalil pythagoras di atas dapat diturunkan menjadi:
a² = c² – b²
b² = c² – a²
Catatan : Dalam menentukan persamaan Pythagoras yang perlu diperhatikan adalah siapa yang berkedudukan sebagai hipotenusa/sisi miring.
Contoh :
Tentukan rumus pythagoras dan turunan dari segitiga yang memiliki panjang sisi miring a dan sisi siku-sikunya b dan c.
Rumus Pythagoras      : a² = b² + c²
Turunannya                   : b² = a² – c²
                                               c² = a² – b²
B.       Menghitung Panjang sisi segitiga siku-siku
Contoh :
1. Pada suatu segitiga ABC siku-siku di titik A. panjang AB= 4 cm dan AC= 3 cm.  Hitunglah panjang BC!
Jawab:
BC² = AC² + AB²
BC² = 3² + 4²
BC² = 9 + 16
BC² = 25
BC  = 5 cm
2. Panjang sisi siku-siku dalam segitiga siku-siku adalah 4x cm dan 3x cm. Jika panjang sisi hipotenusanya 20 cm. Tentukan nilai x.
AC² = AB² + BC²
20²  = (4x)² + (3x)²
400  = 16x² + 9x^2\
400  = 25x²
16    = x²
= x
3. Sebuah kapal berlayar ke arah Barat sejauh 80 km, kemudian ke arah utara sejauh 60 km. Hitunglah jarak kapal sekarang dari jarak semula.
jawab:
OU² = OB² + UB²
OU² = 80² + 60²
OU² = 6.400 + 3.600
OU² = 10.000
OU  = 100 km

C.      Menentukan Jenis Segitiga jika Diketahui Panjang Sisinya dan Triple Pythagoras
1. Kebalikan Dalil Pythagoras
Dalil pythagoras menyatakan bahwa dalam segitiga ABC, jika sudut A siku-siku maka berlaku a²= b² + c².
Dalam    ABC, apabila a adalah sisi dihadapan sudut A, b adalah sisi dihadapan sudut B, c adalah sisi sihadapan sudut C, maka berlaku kebalikan Teorama Pythagoras, yaitu:
Jika a² = b² + c² maka     ABC siku-siku di A.
Jika b² = a² +c² maka    ABC siku-siku di B.
Jika c² = a² + b² maka    ABC siku-siku di C.
Dengan menggunakan prinsip kebalikan dalil Pythagoras, kita dapat menentukan apakah suatu segitiga merupakan segitiga lancip atau tumpul.
Jika a² = b² + c² maka     ABC adalah segitiga siku-siku.
Jika a² > b² + c² maka     ABC adalah segitiga tumpul.
Jika a² < b² + c² maka     ABC adalah segitiga lancip.
Contoh :
Tentukan jenis segitiga yang memiliki panjang sisi
1. 5 cm, 7 cm dan 8 cm.
Jawab: sisi terpanjang adalah 8 cm, maka a= 8 cm, b = 7cm dan c = 5 cm
a² = 8² = 64
b² + c² = 7² + 5²
b² + c² = 49 + 25
b² + c² = 74
karena a² < b² + c², maka segitiga tersebut adalah segitiga lanci
2. 8cm, 7cm dan 12 cm
Jawab: sisi terpanjang adalah 12 cm, maka a= 12 cm, b = 7cm dan c = 8 cm
a² = 12² = 144
b² + c² = 7² + 8²
b² + c² = 49 + 64
b² + c² = 113
karena a² > b² + c², maka segitiga tersebut adalah segitiga tumpul
2. Triple Pythagoras
Yaitu pasangan tiga bilangan bulat positif yang memenuhi kesamaan “kuadrat bilangan terbesar sama dengan jumlah kuadrat kedua bilangan yang lain.”
Contoh :
3, 4 dan 5 adalah triple Pythagoras sebab, 5² = 4² + 3²

Mudahnya Pemfaktorkan Aljabar

Mudahnya Pemfaktorkan Aljabar

Materi aljabar biasanya menjadi salah satu materi yang sering kali siswa mengalami kesulitan. Pemfaktoran aljabar merupakan materi ajar yang dalam kurikulum 2006 (KTSP) berada pada materi kelas 8 semester ganjil.

Berikut penjelasannya :

Pemfaktoran bentuk ax + ay

Bentuk ini merupakan bentuk aljabar dimana dari masing-masing suku terdapat sebuah faktor yang sama atau dengan kata lain terdapat sebuah bilangan yang dapat membagi semua suku pada bilangan aljabar tersebut.

Cara memfaktorkannya :

ax + ay = a ( x + y )

dari bentuk ax + ay, bilangan “a” adalah faktor dari kedua suku tersebut, kemudian sisanya dijadikan pengali.

Contoh :

Faktorkanlah 6x² + 8xy

Penyelesaian :

Bilangan terbesar yang bisa membagi 6 dan 8 adalah 2

Sedangkan bilangan terbesar yang bisa membagi x² dan xy adalah x

Maka pembagi terbesar dari 6x² dan 8xy adalah 2x (2x ditulis diluar kurung)

Bagi masing-masing suku dengan pembagi terbesar yang sudah diperoleh

6x² : 2x = 3x (ditulis di dalam kurung)

8xy : 2x = 4y (ditulis di dalam kurung)

Sehingga faktor dari 6x² + 8xy = 2x (3x + 4y)

Pemfaktoran bentuk ax² + bx + c dengan a=1

Bentuk ini merupakan bilangan aljabar dimana koefisien x² adalah 1 sedangkan koefisien x serta nilai konstanta ( c ) berupa bilangan sembarang

Misal :

 x² + 5x + 6    ->  a=1, b=5 & c=6

x² + 2x - 8    ->  a=1, b=2 & c=(-8)

x² - 2x - 15    ->  a=1, b=(-2) & c=(-15)

x² - 8x + 12    ->  a=1, b=(-8) & c=12

Berikut pembahasannya.

Contoh :

Faktorkanlah x² + 2x - 8

cara penyelesaiannya adalah sebagai berikut :

langkah 1

(x  ……………)(x …………..) -> buat dua buah kurung, masing-masing diberi nilai x. sisakan untuk bilangan yang lain seperti pada contoh

Langkah 2

Cari faktor dari c yang jika kedua pasangan faktornya dijumlahkan akan menghasilkan b

-8
1	-8	=	-7
2	-4	=	-2
4	-2	=	2	Sama dengan nilai b
8	-1	=	7

 Langkah 3

Masukkan nilai faktor yang memenuhi syarat kedalam kurung yang dibuat pada langkah 1

( x + 4 )( x – 2 )

Jadi factor dari x² + 2x – 8 = ( x + 4 )(x – 2 )

Pada kondisi tertentu kita juga perlu ingat bahwa faktor dari bilangan positif bisa jadi negative dikali dengan negative. Hal ini berlaku khusus pada nilai b yang negative (-b) tetapi nilai c nya positif

Contoh :

Faktorkanlah x² - 8x + 12

Penyelesaian :

Langkahnya sama dengan contoh 1, hanya saja aka nada sedikit perbedaan pada langkah 2 sebagai berikut

12			Penjumlahan faktor c
1	12	=	13
2	6	=	8
3	4	=	7
-1	-12	=	-13
-2	-6	=	-8	Sama dengan nilai b
-3	-4	=	-7

Langkah 3

Masukkan nilai faktor yang memenuhi syarat kedalam kurung yang dibuat pada langkah 1

( x - 2 )( x – 6 )

Penak to…??

Kita lanjut ya….

Pemfaktoran bentuk ax² + bx + c dengan a≠1

Sedikit berbeda dengan bentuk sebelumnya, pada bentuk ini koefisien x² tidak bernilai 1 melainkan bebas.

Misal

6x² + 22x + 20   -> a =6, b=22 & c=20

12x² - 7x - 10   -> a =12, b=(-7) & c=(-10)

10x² - 26x + 12   -> a =10, b=(-26) & c=12

Berikut pembahasannya.

Contoh :

Faktorkanlah 12x² - 7x – 10 -> a =12, b=(-7) & c=(-10)

Penyelesaian :

Langkah 1

(…x …………)(…x ……….) buatlah dua buah kurung seperti contoh

Langkah 2

Cari faktor dari a dan c

12			-10
1	12		1	-10
2	6		2	-5
3	4		5	-2
-4	-3		10	-1
-6	-2
-12	-1

Langkah 3

Pilih 1 pasang faktor dari masing-masing bilangan diatas yang jika dilakukan perkalian luar dan perkalian dalam kemudian hasilnya dijumlahkan akan diperoleh nilai b

12			-10
3	4		1	-10
	Perkalian dalam 4 x 1 = 4
Perkalian Luar 3 x (-10) = (-30)
Hasil Penjumlahan Perkalian Luar + Perkalian dalam 4 + (-30) =(-26)

Karena Hasil Penjumlahan Perkalian Luar + Perkalian dalam tidak sama dengan nilai b maka pilih pasangan lain

12			-10
3	4		2	-5
	Perkalian dalam 4 x 2 = 8
Perkalian Luar 3 x (-5) = (-15)
Hasil Penjumlahan Perkalian Luar + Perkalian dalam 8 + (-15) =(-7)

Hasil Penjumlahan Perkalian Luar + Perkalian dalam sama dengan nilai b

Langkah 4

( 3x + 2 ) ( 4x – 5 )

 Jadi faktor dari 12x² - 7x – 10 = ( 3x + 2 ) ( 4x – 5 )

Pemfaktoran bentuk x² + 2xy + y² , x² - 2xy + y² dan x² - y²

Untuk bentuk x² + 2xy + y² pemfaktorannya (x + y) (x + y)= (x + y)² Bentuk 1

Untuk bentuk x² - 2xy + y² pemfaktorannya (x - y) (x - y)= (x - y)² Bentuk 2

Untuk bentuk x² - y² pemfaktorannya (x + y) (x - y) Bentuk 3

Contoh 1:

Faktorkanlah 4x² + 12xy + 9y²

Penyelesaian :

Cari akar dari x² dan y²

akar 4x²= 2x

akar 9y²= 3y

4x² + 12xy + 9y² adalah bentuk 1 (semua bilangan positif)

Maka faktornya :

(2x + 3y) (2x + 3y)= (2x + 3y)²

Contoh 2:

Faktorkanlah 16a² – 40ab + 25b²

Penyelesaian :

Cari akar dari x² dan y²

akar 16a²= 4a

akar 25b²= 5b

16a² – 40ab + 25b² adalah bentuk 2 (2xy adalah bilangan negatif)

Maka faktornya :

(4a - 5b) (4a - 5b) = (4a - 5b)²

Contoh 3:

Faktorkanlah 49p² – 36q²

Penyelesaian :

akar  49p²= 7p

akar 36q²= 6q

49p² – 36q² adalah bentuk 3 (bentuk x² - y²)

Maka faktornya :

(7p + 6q) (7p - 6q)

Demikian materi tentang Pemfaktoran Aljabar SMP Kelas 8….

Semoga bermanfaat…. Salam Stop Tepok Jidat

Mohon Saran untuk cara yang lebih mudah….

Bagi yang butuh slide power point matematika SMP silahkan inbox via email di : sidikmq222@gmail.com